Fraktal skönhet och SCUM:s fulhet

april 16, 2010
Axess nr 4 2010

Axess nr 4 2010

Nu har det nya numret av Axess Magasin kommit ut! Min krönika ”Naturen som ren matematik” på sidan 58 handlar om fraktaler, och jag valde detta eftersom jag för någon månad sedan höll föredrag om fraktaler och svarade på publikens frågor när Nobelmuseet i samarbete med Tempo dokumentärfilmfestival visade dokumentären ”Jakten på den gömda dimensionen”. I övrigt är temat i detta nummer av Axess ”Impopulär populism” med fokus på integration och, som Johan Lundberg skriver i sin ledare, ”på de utmaningar som möten mellan företrädare för olika kulturer ställer på de politiska partierna och på det svenska politiska systemet” och flera av artiklarna + ledaren finns att läsa på hemsidan! Vi matematiker – som är specialister på både genus, mångfald och integration – skulle ju kunna få konsultuppdrag åt regeringen!

Förr gick det utmärkt att lära barnen läsa och skriva utan 900 miljoner extra

Förr gick det utmärkt att lära barnen läsa och skriva utan 900 miljoner extra. Varför går inte det idag?

På tal om partier och politik, alla minns vi läsa-skriva-räkna garantin som infördes läsåret 2008/09 med ett statsbidrag på hisnande 900 miljoner (!) att fördelas under tre år för att eleverna garanterat ska lära sig att just läsa, räkna och skriva under sin skolgång. Man kan ju undra om, och i så fall varför, detta krav inte fanns redan innan? Och vad behövs alla 900 miljoner till?  Om man kör en bokstav i kvartalet kan man avverka hela alfabetet efter drygt sju år, och sedan kan man avsluta grundskolan med en nästan två år lång fördjupningskurs specialinriktad på interpunktioner. Med samma lästakt på en interpunktion i kvartalet hinner man med punkt, kommatecken, semikolon, kolon, semikolon, citationstecken, utropstecken och frågetecken. Sedan kan man tillsätta en statlig utredning i kombinatorik för att undersöka på hur många olika sätt man kan variera denna läroplan. Givetvis måste man först manuellt generera många olika läroplaner där man väger och jämför dem tills den slutliga femårsplanen blir färdigställd, och sedan ska detta utvärderas, analyseras, barnen ska intervjuas och föräldrarna ska gå på workshops och seminarier för att utbyta erfarenheter och djupintervjuas av pedagogiska experter, genusvetare, maktkritik-coacher och rättviseprofeter för att utröna om barnen fått en icke-diskriminerande syn på olika bokstäver utifrån den aktuella kursplan de provat på där man tagit i beaktande att den ordning i vilken bokstäverna förekommer i alfabetet kan påverka synen på bokstäverna och barnen kan undermedvetet tilldela bokstaven A ett högre värde än B som ju kommer efter och detta måste problematiseras ur ett maktperspektiv. Antalet sådana läroplaner skapade med ett maktperspektiv blir 29×28×27×26x ……x3×2×1 stycken, dvs 29! (”29-fakultet” för den oinvigde angående detta förkortade skrivsätt), eftersom den första bokstaven kan väljas på 29 sätt, den andra på 28 sätt (då man ju redan tagit en bokstav från alfabetet), den tredje på 27 osv. Men vi har ju kvar genusperspektivet, miljöperspektivet och hållbar utvecklings-perspektivet. Det är så här man håller arbetslösheten nere i Sverige som politiker.

För att kommentara på blogspot måste man verifieras och jag föreslår att man höjer nivån på uppgifterna där.

För att kommentara på blogspot måste man verifieras och jag föreslår att man höjer nivån på uppgifterna där.

Men eleverna kan också lära sig matematik genom att kommentera på bloggar på nätet. Själv upptäckte jag till min glädje att jag skulle verifieras såsom varande mänsklig genom att beräkna ett tal, nämligen 2+3, när jag skulle kommentera på en blogg, istället för den betydligt svårare ordinarie uppgiften jag annars stött på där man ska avkoda ett ord med förvrängda, spegelvända och lokalt inverterade bokstäver och som inte har något pedagogiskt syfte annat än att testa ens tålamod. Således måste det ingå i skolans demokratiska uppdrag att lära ut matematik eftersom eleverna annars riskerar att stängas ute från samhällsdebatten och därmed förlora sitt inflytande. Jag föreslår att bloggprogrammerarna dessutom höjer nivån på dessa mattetal efter stigande ålder på användaren (åldern kan verifieras via ett enkelt DNA-test eller varför inte biometriskt via ansiktsuttrycket som efter decennier av inhemsk samhällsdebatt blivit ordentligt fårat och med ett chockartat alternativt apatiskt uttryck) – detta skulle bli ett utmärkt komplement till skolan och ett projekt för IT-pedagogerna att tänka på.

Ett träd uppviar self-similarity

Ett träd uppvisar self-similarity

En fraktal är som bekant ett matematiskt begrepp som vi associerar med en geometrisk figur som uppvisar självlikformighet: zoomar vi in i en del av figuren ser vi en reducerad kopia av helheten. Det fascinerande med fraktaler är att enkla matematiska regler resulterar i komplexa och vackra mönster. Deras struktur är dock för irreguljär för att beskrivas med vanlig Euklidisk geometri, varför exempelvis en linje inte räknas som en fraktal även om den är det enklaste exemplet på en figur som uppvisar självlikformighet. I naturen finns många fenomen som kan approximeras med fraktaler: moln, kustlinjer, bergskedjor, blodkärl, galaxhopar, växter och grönsaker. Betrakta ett träd: en gren tycks vara en reducerad kopia av hela trädet, och i vissa fall kan man plantera en gren och få ett nytt träd. Då är det naturligt att hela trädet, även dess grenar, är underkastade samma fysikaliska tillväxtregel – i detta fall förgreningsprincip. Grenarna är inga exakta kopior av trädet och förgreningen fortsätter heller inte i det oändliga, men trädet uppvisar en statistisk självlikformighet som är tillräckligt bra för att kunna approximeras med en fraktal.

Mandelbrotmängden

Mandelbrotmängden

Men det slutar faktiskt inte vid trädet. Biologer och matematiker samarbetar för att fastställa hur mycket koldioxid en hel skog absorberar. Genom datainsamling har det visat sig att skogen som helhet uppvisar samma fraktala struktur som ett enda träd – dvs andelen träd i olika storlekar är en nästintill exakt avsegling av andelen grenar i olika storlekar på ett godtyckligt utvalt träd. Så det räcker att studera koldioxidupptaget i ett enda träd för att kunna generalisera resultatet till hela skogen. Ordet fraktal myntades 1975 av den fransk-judiske matematikern Mandelbrot som 1977 kom ut med det klassiska verket ”The Fractal Geometry of Nature” där han byggde vidare på tidigare matematikers studier, men till skillnad från dessa insåg han att många naturliga fenomen kan approximeras med fraktaler, som alltså inte längre bara var att betrakta som matematisk kuriosa. Många fraktaler genereras genom en rekursionsformel där nyckelordet är oändlig iteration (upprepning). Ett exempel är Mandelbrotmängden där där man testar varje komplext tal c genom att börja med ett starttal (noll), sätta in det i en formel, tar resultatet och stoppar in det i formeln igen osv, varpå man erhåller en oändlig följd av tal. Om följden genererad av formeln – f(z)=z^2+c – konvergerar så tillhör c Mandelbrotmängden. Det var dock först på Mandelbrots tid som man kunde illustrera fraktalerna grafiskt eftersom det kräver tusentals och miljontals upprepningar tills mönstret framträder ordentligt.

von Kochs snöflinga

von Kochs snöflinga

Andra fraktaler bygger på oändlig upprepning av någon enkel geometrisk regel, som exempelvis von Kochs snöflinga, vars upphovsman är den en svenske matematikern Helge von Koch. Man börjar med en liksidig triangel och på varje sida tar man bort den mittersta tredjedelen och ersätter den med en utbuktning i form av en ny liksidig triangel (men raderar dess bas) och så fortsätter man på varje ny sida. För varje steg ökar omkretsen med en tredjedel i förhållande till föregående steg så efter oändlig upprepning får snöflingan en oändlig omkrets, men en begränsad area, vilket kan tyckas paradoxalt. Naturen använder sig mycket av denna egenskap: exempelvis ger blodkärldens fraktala struktur maximal blodförsörjning till ett organ med en begränsad yta. Frågan är om naturen redan ”kände till” fraktalerna eller om det vi ser är ett resultat av naturligt urval? Jag tror på en kombination.

Hunting the hidden dimension del 1 av 5. Se alla fem delar! Finns annars i sin helhet på  Google videos, kan tyvärr inte bädda in den:

Ursäkta att jag inte tog upp genusfrågan idag! Har ni abstinens så gå genast till Genusnytt och Pelle Billing och Matte Matik, som för övrigt just trangenusifierat SCUM-manifestet –  och resultatet är riktigt frånstötande. Vilka svenska feminister kommer fortsätta hylla detta manifest? Från wiki: ”Manifestet hävdar att mänsklighetens alla problem kan reduceras till problemet med män, och att dessa problem ska lösas genom dessas utplånande, kvinnans vidare reproduktion  med artificiella medel och produktionens totala automatisering…. Solanas menar att mannen mentalt är fångad i ”skymningslandet mellan apa och människa” och endast har förmågan till negativa känslor. Hon menar att medan kvinnan drivs av kärlek, medmänsklighet, oberoende och självförverkligande så drivs mannen av ett undflyende från sina känslor av hat, svartsjuka, förakt, äckel, skuld, skam och tvivel. Hon menar att mannen i sitt undflyende av dessa försöker framställa sig själv som osårbar och märkvärdig genom ”Stor Konst” och ”Djupa Grejer”… Faderskapet, som hon menar baseras på injagandet av fruktan, pekas ut som grunden till all sinnessjukdom.” Man kan ju undra vem som är sinnessjuk? Genusnytt har just lagt upp följande video om hur USA reagerar på svenskt genusvansinne:

Dagens lästips: ”Lägg ner alla lobbande myndigheter”. Jag kommer genast att tänka på Nationella Sekretariatet för genusforskning vars regeringsuppdrag finns formulerat i svensk författningssamling (förordning 1997:61):

2 § Sekretariatet skall med ett rikstäckande perspektiv
främja genusforskning i vid bemärkelse och verka för att
betydelsen av genusperspektiv uppmärksammas i all forskning.

Detta skall ske genom utredningsarbete, opinionsbildning och
informationsspridning samt på de andra sätt som sekretariatet
finner lämpliga. I sekretariatets uppgifter ingår bl.a. att

– överblicka genusforskningen i Sverige och aktivt främja
spridningen av dess resultat,

– analysera behovet av genusforskning inom alla
vetenskapsområden, och

– arbeta för ett ökat medvetande om genusforskningens och
genusperspektivens betydelse.

Annonser

Nu har jag det!

september 21, 2009

Den svenske matematikern Helge von Kochs (1870-1924) snöflinga

Den svenske matematikern Helge von Kochs (1870-1924) fraktala snöflinga

Liksom man inte kan dra en kurva mellan två godtyckliga punkter på en yta som inte är sammanhängande så kan man heller inte få ett sammanhang i sitt liv om man inte noga betänker de val man gör som ung. Och vad jag pratar om är naturligtvis den matematiska verksamheten vid våra lärosäten. Matematik är grunden till er logiska förmåga, och om ni vill få era dendriter att växa så är det bäst för er att ni spenderar er värdefulla tid på intressanta matteföredrag innan ni i vinter tar första bästa jetplan till Thailand för att lata er i tron att logiken utvecklas av sig själv och i tron att vi matematiker helt ensamma kan bära upp hela verksamheten i det här landet utan ert moraliska stöd och aktiva deltagande!

I dessa tider av färgänglighet gäller det att ha förmågan att finna något beständigt och kontinuerligt som kan ledsaga en genom livets outgrundliga vägar, och därför kan man till exempel inte lämna jordelivet utan att ha en förståelse för kontinuerliga funktioner, där en funktion uttrycker ett (i positiv bemärkelse) beroende. Till exempel är genuseriets framtid beroende av mängden skattemedel man avdelar till detta vansinnesprojekt, liksom av folkets tålamod, politikernas beslut och medias prioritering – och detta kan man uttrycka som G(skatt, tålamod, beslut, media). Hur gör man rent matematiskt för att denna funktion ska störta in i origo och bli noll?

COBE-satelliten har letat patriarkala strukturer sedan 1989

COBE-satelliten har letat patriarkala strukturer sedan 1989

Vad gäller beständigheten så är det så att det som inom matematiken en gång är bevisat är för evigt sant – detta ska jämföras med den tragiska situationen i mer världslig forskning där exempelvis upptäckten av ett litet roterande femdimensionellt membran i universums utkant kan rasera fler decenniers grubblerier och forskningsartiklar kring universums uppbyggnad. Inom fysiken måste man givetvis kombinera matematiska modeller med experimentella resultat, och man får räkna med en del bakslag ibland. Även genusvetarna, som inte använder sig av matematik, tog som bekant hjälp av COBE-satelliten (Cosmic Background Explorer) som skjöts upp 1989 och till slut lyckades finna den anisotropi (små variationer) i den kosmiska bakgrunds-strålningen som sedermera under den inflationistiska fasen av universums utvidgning gav upphov till de universella patriarkala strukturer vi kan beskåda idag (är det kanske därför Tiina Rosenbergs projektgrupp inlett ett samarbete med Fysikum i Lund kring genuscertifieringen?)

För att komma till saken – jag vill härmed inbjuda intresserade läsare (sprid gärna till vänner och bakanta!) till en populärvetenskaplig
föreläsningsserie i matematik – nämligen MATEMATISK LUSTTUR,
som kommer att hållas nu i höst (med start 6 oktober) vid matematiska institutionen, Stockholms Universitet på tisdagskvällar kl 18-20. Den som är intresserad kan anmäla sig till kursansvarig  (det är inte jag, jag ska bara hålla ett av föredragen) till: orikurs@math.su.se eller rikard@math.su.se. Det går givetvis bra att anmäla sig till mig också så vidarebefordrar jag. Det krävs faktiskt inga förkunskaper alls utan bara nyfikenhet och intresse, och sk grundläggande behörighet dvs slutbetyg från gymnaium. Men den som inte är intresserad av att samla Ladok-poäng utan bara vill lyssna till ett eller annat föredrag är givetvis också varmt välkommen! Här är kursbeskrivningen till Matematisk Lusttur och här är ett preliminärt schema där ni kan se vilka föredrag som kommer att hållas under de första veckorna, den kommer att fyllas på inom kort.

Är det här genusartiklarna producerats?

Är det här alla genusartiklarna producerats?

Det finns ju hur mycket som helst att ta upp utöver det som redan är inbokat – alltifrån Benfords lag som kan användas för att enkelt upptäcka bokföringsbrott till The Infinite Monkey Theorem (eller på svenska: satsen om oändligt många apor) som hävdar att en odödlig apa som gör oändligt många tangenttryckningar förr eller senare kommer att skriva varje känd text (i sin ursprungliga form hävdade satsen dock ”alla böcker i det franska nationalbiblioteket”). Detta innebär även att alla genusflummerier kommer att reproduceras av apan. Frågan är om det inte är just denna apa som sitter i något labb och skriver alla genusartiklar? Trots allt formulerades ju satsen redan 1909 i en bok om sannolikhetslära av Émile Borel, så apan har ju redan hållt på i 100 år. Hur sannolikt är det att det är denna apa som är ansvarig för dagens genusartiklar, och varför råkade alla bli på just svenska? Mycket intressant forskningsproblem – jag tror jag måste ta tag i det – äntligen är jag vansinnet på spåren!

Här en en annan klassiker om sannolikheter, nämligen Tage Danielssons monolog om sannolikheter ang Harrisburgolyckan (tipstack till Josef för denna underhållande video):


%d bloggare gillar detta: